Top 16 시그 모이 드 함수 미분 9 Most Correct Answers

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로지스틱스 회귀분석, 시그모이드 함수

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Sigmoid 함수 미분 정리

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[Calculus] Sigmoid 함수 미분하기

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시그모이드 함수 미분법 Sigmoid Differential 정리 – [머신러닝] 본문

시그모이드 함수 미분 알아야할 수학 개념

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딥러닝에서 활성화 함수를 사용할 때 시그모이드(Sigmoid) 함수를 많이 사용한다. 역전파를 보내기 위해서는 해당 함수의 편미분값을 보내야하기에 이번 글에서는 시그모이드 함수를 수식적으로 미분해보자. 우리가 알고 있는 시그모이드 함수는 다음과 같다.

\[ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \]
\[ \begin{equation} \begin{split} \frac{df}{dt} = & -\frac{1}{t^2}, \ \ \ (t = 1+e^{-x}) \\ \\ \Rightarrow & \ \frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot e^{-x} \\ \\ \Rightarrow &\ \frac{1 + e^{-x} -1}{ (1+e^{-x})(1+e^{-x})} \\ \\ \Rightarrow & \ \frac{1}{1+ e^{-x}} \cdot \frac{1}{(1+e^{-x})^2} \\ \\ \Rightarrow & \ \frac{1}{1+e^{-x}} \cdot (1 – \frac{1}{1+e^{-x}}) \\ \\ \Rightarrow & \ f(x) \cdot (1-f(x)) \end{split} \end{equation} \]
시그모이드의 함수의 미분은 다시 시그모이드의 함수로 구할 수 있는 꼴이 나오게 된다. 그럼 $x=0$ 일 때 시그모이드 함수의 기울기는 어떻게 되는지 구해보자.

\[ \begin{equation} \begin{split} f'(x) & = f(x)\cdot(1-f(x)) \\ \\ f'(0) & = f(0)\cdot(1-f(0)) \\ \\ & = \frac{1}{2} \cdot (1 – \frac{1}{2}) \\ \\ & = \frac{1}{4} \end{split} \end{equation} \]
$x=0$ 일때의 기울기는 $\frac{1}{4}$ 인 것을 확인해보았다. 그렇다면 시그모이드 함수의 미분값이 최대인 점은 어디일까? 우리는 $f'(x) = f(x)(1-f(x))$임을 알고 있다. $f(x)(1-f(x))$의 변곡점을 찾는다면 이때의 값이 최댓값이 될 것이다. 식이 간단하기에 수식을 계산하면 $x=0$ 일 경우 최댓값을 가지는 것을 확인할 수 있다.

이전 계산을 통해 $f(0) = \frac{1}{4}$이며, 1을 넘지 않는 것을 확인했다. 시그모이드 함수의 기울기는 0일때 최댓값을 가지며 좌우로 갈수록 기울기는 감소하게 된다. 그 말은 input 값이 커지거나 작아질수록 기울기가 줄어드는 것을 의미하며, 이는 바로 gradient vanishing을 야기한다는 것을 뜻한다. 역전파 알고리즘을 수행할 때 편미분 값을 이전 노드에 전달하게 되는데, 만약 input 값이 너무 커서 기울기가 0에 가깝다면 이전 노드에 전파를 전달하더라도 무의미하기 때문에 이와 같은 문제를 바로 gradient vanishing problem이라고 칭한다. 이러한 이유로 일부 연구에서는 활성화 함수를 시그모이드가 아닌 $\text{Tanh}(x)$ 혹은 $\text{ReLU}(x)$ 등을 사용하기도 하며, 일반적으로 성능이 더 좋다고 알려져있다.

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[딥러닝] 시그모이드(Sigmoid)와 하이퍼볼릭 탄젠트(tanh)의 미분

출처: http://taewan.kim/post/sigmoid_diff/

Sigmoid 함수 미분 정리

September 18, 2017 Machine Learning

Sigmoid 함수는 S자와 유사한 완만한 시그모이드 커브 형태를 보이는 함수입니다. Sigmoid는 대표적인 Logistic 함수입니다. Sigmoid 함수는 모든 실수 입력 값을 0보다 크고 1보다 작은 미분 가능한 수로 변환하는 특징을 갖습니다. 모든 입력에 대하여 sigmoid는 S와 같은 형태로 미분 가능한 0~1 사이의 값을 반환하기에 Logistic Classification과 같은 분류 문제의 가설과 비용 함수(Cost Function)1에 많이 사용됩니다. sigmoid의 반환 값은 확률형태이기 때문에 결과를 확률로 해석할 때 유용합니다.

딥러닝에서는 노드에 임계값을 넘을 때만 출력하는 활성 함수로도 이용됩니다. Sigmoid 함수는 마이너스 값을 0에 가깝게 표현하기 때문에 입력값이 최종 계층에서 미치는 영향이 적어지는 Vanishing gradient problem 이 발생합니다. 이 문제 때문에 현재 딥러닝 실무에서 사용되지는 않지만, 딥러닝 입문 과정에서 꼭 다루는 함수입니다.

Sigmoid 함수는 미분 결과가 간결하고 사용하기 쉬우므로 초기에 많이 사용되었습니다. 머신 러닝에서 Sigmoid함수는 가설과 학습에서 사용됩니다. 학습에 사용될 때는 Sigmoid를 미분한 결과가 사용됩니다. sigmoid는 미분 결과를 프로그래밍하기 쉽기에 인기가 더욱 높았습니다.

아래에서 Sigmoid 함수의 실체와 미분 유도 과정을 살펴보겠습니다.

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